Ein Zufallsgenerator ist ein Tool oder ein Algorithmus, der unvorhersehbare und nicht deterministische Ergebnisse produziert. Diese Generatoren sind essenziell in vielen Bereichen, von der Kryptografie bis zur Computersimulation.
- Unvorhersehbare Ergebnisse: Zufallsgeneratoren liefern Ergebnisse, die nicht vorhergesagt werden können.
- Verwendung in der Kryptografie: Sie sind entscheidend für sichere Kommunikation.
- Computersimulationen: Häufig genutzt in der Modellierung und Analyse komplexer Systeme.
Zufallszahlengenerator
Wie funktioniert ein Zufallsgenerator? ?
Zufallsgeneratoren arbeiten entweder mit physischen Prozessen oder mathematischen Algorithmen. Die wichtigsten Typen sind echte Zufallsgeneratoren (TRNGs) und Pseudo-Zufallsgeneratoren (PRNGs).
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Verschiedene Anwendungen von Zufälligkeit haben zur Entwicklung unterschiedlicher Methoden zur Generierung zufälliger Daten geführt. Einige davon existieren seit der Antike, einschließlich bekannter Beispiele wie Würfeln, Münzwurf, Mischen von Spielkarten, Verwendung von Schafgarbenstielen (zur Wahrsagung) im I Ging sowie unzähligen anderen Techniken. Aufgrund der mechanischen Natur dieser Techniken erforderte das Generieren großer Mengen ausreichend zufälliger Zahlen (wichtig in der Statistik) viel Arbeit und Zeit. Daher wurden die Ergebnisse manchmal gesammelt und als Zufallszahlentabellen verteilt.
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Es gibt mehrere rechnerische Methoden zur Generierung von Pseudorandom-Zahlen. Alle verfehlen das Ziel wahrer Zufälligkeit, obwohl sie mit unterschiedlichem Erfolg einige der statistischen Tests für Zufälligkeit bestehen können, die messen sollen, wie unvorhersehbar ihre Ergebnisse sind (d.h. in welchem Maße ihre Muster erkennbar sind). Dies macht sie im Allgemeinen unbrauchbar für Anwendungen wie Kryptografie. Es gibt jedoch auch sorgfältig entwickelte kryptografisch sichere Pseudorandom-Zahlengeneratoren (CSPRNGS) mit speziellen Merkmalen, die speziell für den Einsatz in der Kryptografie entwickelt wurden.
Anwendungen von Zufallsgeneratoren
- Spiele und Unterhaltung:
- Zufallsgeneratoren werden in Spielen zur Erstellung unvorhersehbarer Elemente wie Würfelwürfe, Kartenziehungen oder Level-Generierung verwendet.
- Kryptographie:
- In der Informationssicherheit sind Zufallsgeneratoren entscheidend für die Erzeugung von Schlüsseln, Salts und Nonces, die für die Verschlüsselung und Authentifizierung benötigt werden.
- Statistik und Stichproben:
- Bei der Erstellung von Stichproben für Umfragen und Studien helfen Zufallsgeneratoren, repräsentative und unvoreingenommene Proben zu ziehen.
- Simulationsmodelle:
- In der Wissenschaft und Technik werden Zufallsgeneratoren verwendet, um Monte-Carlo-Simulationen durchzuführen, die zufällige Variablen nutzen, um komplexe Systeme zu modellieren und zu analysieren.
- Lotterien und Gewinnspiele:
- Sie gewährleisten die faire und zufällige Auswahl von Gewinnern in Lotterien, Gewinnspielen und anderen Wettbewerben.
- Optimierungsalgorithmen:
- Zufällige Verfahren wie genetische Algorithmen und Simulated Annealing nutzen Zufallsgeneratoren, um Lösungsräume effizient zu durchsuchen und optimale Lösungen zu finden.
- Künstliche Intelligenz und maschinelles Lernen:
- Zufallsgeneratoren werden verwendet, um Datenmengen zu mischen und Trainings- und Testdaten zufällig auszuwählen, um die Modelle zu validieren und zu trainieren.
Zufallszahlengeneratoren haben Anwendungen im Glücksspiel, in der statistischen Stichprobenahme, in der Computersimulation, in der Kryptografie, im vollständig randomisierten Design und in anderen Bereichen, in denen die Erzeugung eines unvorhersehbaren Ergebnisses wünschenswert ist. Im Allgemeinen werden in Anwendungen, bei denen Unvorhersehbarkeit das Hauptmerkmal ist, wie in Sicherheitsanwendungen, Hardware-Generatoren bevorzugt, wo dies möglich ist.
Pseudorandom-Zahlengeneratoren sind sehr nützlich bei der Entwicklung von Monte-Carlo-Simulationsmethoden, da das Debuggen erleichtert wird, indem dieselbe Sequenz von Zufallszahlen wiederholt werden kann, wenn mit demselben Zufallssamen begonnen wird. Sie werden auch in der Kryptografie verwendet – solange der Samen geheim bleibt. Der Absender und der Empfänger können automatisch denselben Satz von Zahlen generieren, um sie als Schlüssel zu verwenden.
Die Erzeugung von Pseudorandom-Zahlen ist eine wichtige und häufige Aufgabe in der Computerprogrammierung. Während Kryptografie und bestimmte numerische Algorithmen einen sehr hohen Grad an scheinbarer Zufälligkeit erfordern, benötigen viele andere Operationen nur ein bescheidenes Maß an Unvorhersehbarkeit. Einige einfache Beispiele könnten sein, einem Benutzer ein „zufälliges Zitat des Tages“ zu präsentieren oder zu bestimmen, in welche Richtung sich ein computergesteuerter Gegner in einem Computerspiel bewegen könnte. Schwächere Formen der Zufälligkeit werden in Hash-Algorithmen und bei der Erstellung amortisierter Such- und Sortieralgorithmen verwendet.
Einige Anwendungen, die auf den ersten Blick für Randomisierung geeignet erscheinen, sind in Wirklichkeit nicht so einfach. Zum Beispiel muss ein System, das „zufällig“ Musikstücke für ein Hintergrundmusiksystem auswählt, nur zufällig erscheinen und kann sogar Möglichkeiten haben, die Musikauswahl zu steuern: Ein wirklich zufälliges System hätte keine Einschränkung, dass derselbe Titel zwei- oder dreimal hintereinander erscheinen könnte.
Echte Zufallszahlen vs. Pseudo-Zufallszahlen ?
Der Unterschied zwischen echten und pseudo-Zufallszahlen liegt in der Vorhersagbarkeit und der Quelle der Zufälligkeit.
- Echte Zufallszahlen: Unvorhersehbar, basierend auf physikalischen Prozessen.
- Pseudo-Zufallszahlen: Erzeugt durch Algorithmen, vorhersagbar, wenn der Seed bekannt ist.
Es gibt zwei Hauptmethoden zur Generierung von Zufallszahlen. Die erste Methode misst ein physikalisches Phänomen, das als zufällig angesehen wird, und kompensiert dann mögliche Verzerrungen im Messprozess. Beispiele für Quellen sind die Messung von atmosphärischem Rauschen, thermischem Rauschen und anderen externen elektromagnetischen und quantenmechanischen Phänomenen. Beispielsweise stellen kosmische Hintergrundstrahlung oder radioaktiver Zerfall, die über kurze Zeiträume gemessen werden, Quellen natürlicher Entropie dar (als Maß für die Unvorhersehbarkeit oder Überraschung des Zahlengenerierungsprozesses).
Die Geschwindigkeit, mit der Entropie aus natürlichen Quellen gewonnen werden kann, hängt von den zugrunde liegenden physikalischen Phänomenen ab, die gemessen werden. Daher wird gesagt, dass Quellen natürlicherweise vorkommender „wahrer“ Entropie blockierend sind – sie sind ratenbegrenzt, bis genügend Entropie gesammelt wird, um die Nachfrage zu decken. Auf einigen Unix-ähnlichen Systemen, einschließlich der meisten Linux-Distributionen, blockiert die Pseudogerätedatei /dev/random, bis ausreichend Entropie aus der Umgebung gesammelt wurde. Aufgrund dieses blockierenden Verhaltens können große Massendatenlesevorgänge von /dev/random, wie das Befüllen einer Festplatte mit Zufallsbits, auf Systemen, die diese Art von Entropiequelle verwenden, oft langsam sein.
Die zweite Methode verwendet Rechenalgorithmen, die lange Sequenzen scheinbar zufälliger Ergebnisse erzeugen können, die in Wirklichkeit vollständig durch einen kürzeren Anfangswert, bekannt als Samenwert oder Schlüssel, bestimmt sind. Dadurch kann die gesamte scheinbar zufällige Sequenz reproduziert werden, wenn der Samenwert bekannt ist. Diese Art von Zufallszahlengenerator wird oft als Pseudorandom-Zahlengenerator bezeichnet. Diese Art von Generator ist normalerweise nicht blockierend, sodass sie nicht durch ein externes Ereignis ratenbegrenzt ist, was große Massendatenlesevorgänge ermöglicht.
Einige Systeme verwenden einen hybriden Ansatz, der Zufälligkeit aus natürlichen Quellen sammelt, wenn verfügbar, und auf kryptografisch sichere Pseudorandom-Zahlengeneratoren (CSPRNGs) zurückgreift, die periodisch neu gesät werden, wenn die gewünschte Leserate die Fähigkeit des natürlichen Sammelansatzes übersteigt, die Nachfrage zu decken. Dieser Ansatz vermeidet das ratenbegrenzte blockierende Verhalten von Zufallszahlengeneratoren, die auf langsameren und rein umweltbasierten Methoden basieren.
Während ein Pseudorandom-Zahlengenerator, der ausschließlich auf deterministischer Logik basiert, niemals als „wahre“ Zufallsquelle im reinsten Sinne des Wortes angesehen werden kann, sind sie in der Praxis im Allgemeinen ausreichend, selbst für anspruchsvolle sicherheitskritische Anwendungen. Sorgfältig entwickelte und implementierte Pseudorandom-Zahlengeneratoren können für sicherheitskritische kryptografische Zwecke zertifiziert werden, wie dies bei den Algorithmen Yarrow und Fortuna der Fall ist. Ersterer ist die Grundlage der /dev/random-Entropiequelle auf FreeBSD, AIX, macOS, NetBSD und anderen. OpenBSD verwendet einen Pseudorandom-Zahlenalgorithmus, der als arc4random bekannt ist.
Generierungsmethoden
Physikalische Methoden
Die frühesten Methoden zur Generierung von Zufallszahlen, wie Würfeln, Münzwurf und Roulette-Räder, werden auch heute noch verwendet, hauptsächlich in Spielen und beim Glücksspiel, da sie für die meisten Anwendungen in der Statistik und Kryptografie zu langsam sind.
Ein physikalischer Zufallszahlengenerator kann auf einem im Wesentlichen zufälligen atomaren oder subatomaren physikalischen Phänomen basieren, dessen Unvorhersehbarkeit auf die Gesetze der Quantenmechanik zurückgeführt werden kann. Entropiequellen umfassen radioaktiven Zerfall, thermisches Rauschen, Schussrauschen, Lawinenrauschen in Zener-Dioden, Taktabweichungen, die zeitlichen Bewegungen eines Festplatten-Lesekopfs und Funkrauschen. Physikalische Phänomene und Werkzeuge, die zu deren Messung verwendet werden, weisen jedoch im Allgemeinen Asymmetrien und systematische Verzerrungen auf, die ihre Ergebnisse nicht gleichmäßig zufällig machen. Ein Zufallsextraktor, wie eine kryptografische Hash-Funktion, kann verwendet werden, um eine gleichmäßige Verteilung von Bits aus einer nicht gleichmäßig zufälligen Quelle zu erreichen, allerdings mit einer niedrigeren Bitrate.
Ein Prototyp eines Hochgeschwindigkeits-Echtzeit-Zufallszahlengenerators auf Basis eines chaotischen Lasers wurde 2013 entwickelt.
Verschiedene einfallsreiche Methoden zum Sammeln dieser entropischen Informationen wurden entwickelt. Eine Technik besteht darin, eine Hash-Funktion auf einen Rahmen eines Videostreams von einer unvorhersehbaren Quelle anzuwenden. Lavarand verwendete diese Technik mit Bildern von mehreren Lavalampen. HotBits maß radioaktiven Zerfall mit Geiger-Müller-Röhren, während Random.org Schwankungen in der Amplitude von atmosphärischem Rauschen mit einem normalen Radio aufzeichnete.
Computergestützte Methoden
Die meisten von Computern erzeugten Zufallszahlen verwenden PRNGs, die Algorithmen sind, die automatisch lange Zahlenfolgen mit guten Zufallseigenschaften erzeugen können, aber schließlich wiederholen sich die Sequenzen (oder der Speicherverbrauch wächst unbegrenzt). Diese Zufallszahlen sind in vielen Situationen ausreichend, sind jedoch nicht so zufällig wie Zahlen, die aus elektromagnetischem atmosphärischen Rauschen als Entropiequelle verwendet werden. Die Reihe von Werten, die von solchen Algorithmen erzeugt werden, wird im Allgemeinen durch eine feste Zahl, den sogenannten Samen, bestimmt. Einer der häufigsten PRNGs ist der lineare Kongruenzgenerator, der die Rekurrenzbeziehung
Xn+1=(aXn+b)mod mX_{n+1} = (aX_n + b) \mod mXn+1=(aXn+b)modm
verwendet, um Zahlen zu erzeugen, wobei aaa, bbb und mmm große ganze Zahlen sind, und Xn+1X_{n+1}Xn+1 die nächste Zahl in einer Reihe von pseudorandom Zahlen ist. Die maximale Anzahl von Zahlen, die die Formel erzeugen kann, ist das Modul mmm. Die Rekurrenzbeziehung kann auf Matrizen erweitert werden, um viel längere Perioden und bessere statistische Eigenschaften zu haben. Um bestimmte nicht-zufällige Eigenschaften eines einzelnen linearen Kongruenzgenerators zu vermeiden, können mehrere solcher Zufallszahlengeneratoren mit leicht unterschiedlichen Werten des Multiplikatorkoeffizienten aaa parallel verwendet werden, wobei ein „Master“-Zufallszahlengenerator zwischen den verschiedenen Generatoren auswählt.
Eine einfache Methode zur manuellen Generierung von Zufallszahlen ist die sogenannte Mittelsquare-Methode, die von John von Neumann vorgeschlagen wurde. Obwohl sie einfach zu implementieren ist, ist ihre Ausgabe von schlechter Qualität. Sie hat eine sehr kurze Periode und schwerwiegende Schwächen, wie die Tatsache, dass die Ausgabesequenz fast immer zu Null konvergiert. Eine kürzlich entwickelte Innovation besteht darin, die Mittelsquare-Methode mit einer Weyl-Sequenz zu kombinieren. Diese Methode erzeugt qualitativ hochwertige Ausgaben über eine lange Periode hinweg.
Die meisten Programmiersprachen enthalten Funktionen oder Bibliotheksroutinen, die Zufallszahlengeneratoren bereitstellen. Sie sind oft so konzipiert, dass sie ein zufälliges Byte oder Wort oder eine gleichmäßig verteilte Gleitkommazahl zwischen 0 und 1 liefern.
Die Qualität, d.h. Zufälligkeit solcher Bibliotheksfunktionen, variiert stark, von völlig vorhersagbarer Ausgabe bis hin zu kryptografisch sicher. Der Standard-Zufallszahlengenerator in vielen Sprachen, einschließlich Python, Ruby, R, IDL und PHP, basiert auf dem Mersenne-Twister-Algorithmus und ist für kryptografische Zwecke nicht ausreichend, wie ausdrücklich in der Sprachdokumentation angegeben. Solche Bibliotheksfunktionen haben oft schlechte statistische Eigenschaften und einige wiederholen Muster nach nur Zehntausenden von Versuchen. Sie werden häufig mit der Echtzeituhr eines Computers als Samen initialisiert, da eine solche Uhr 64-Bit ist und in Nanosekunden misst, weit jenseits der Präzision einer Person. Diese Funktionen bieten möglicherweise genügend Zufälligkeit für bestimmte Aufgaben (z.B. Videospiele), sind jedoch ungeeignet, wenn hohe Qualität der Zufälligkeit erforderlich ist, wie in kryptografischen Anwendungen oder in der Statistik.
Hochwertigere Zufallszahlengeneratoren sind auf den meisten Betriebssystemen verfügbar; zum Beispiel /dev/random auf verschiedenen BSD-Derivaten, Linux, Mac OS X, IRIX und Solaris oder CryptGenRandom für Microsoft Windows. Die meisten Programmiersprachen, einschließlich der oben genannten, bieten eine Möglichkeit, auf diese höherwertigen Quellen zuzugreifen.
Von Menschen generiert
Zufallszahlengenerierung kann auch von Menschen durchgeführt werden, indem verschiedene Eingaben von Endbenutzern gesammelt und als Zufallsquelle verwendet werden. Die meisten Studien finden jedoch, dass menschliche Subjekte ein gewisses Maß an Nicht-Zufälligkeit aufweisen, wenn sie versuchen, eine zufällige Folge von z.B. Ziffern oder Buchstaben zu erzeugen. Sie könnten zu oft zwischen den Wahlmöglichkeiten wechseln im Vergleich zu einem guten Zufallsgenerator; daher wird dieser Ansatz nicht weit verbreitet verwendet. Aus demselben Grund, dass Menschen in dieser Aufgabe schlecht abschneiden, kann die menschliche Zufallszahlengenerierung als Werkzeug verwendet werden, um Einblicke in Gehirnfunktionen zu gewinnen, die auf andere Weise nicht zugänglich sind.
Nachbearbeitung und statistische Prüfungen
Auch bei einer plausiblen Zufallszahlquelle (vielleicht von einem quantenmechanisch basierten Hardware-Generator) erfordert es Sorgfalt, um völlig unvoreingenommene Zahlen zu erhalten. Das Verhalten dieser Generatoren ändert sich oft mit Temperatur, Versorgungsspannung, dem Alter des Geräts oder anderen äußeren Einflüssen.
Erzeugte Zufallszahlen werden manchmal statistischen Tests unterzogen, bevor sie verwendet werden, um sicherzustellen, dass die zugrunde liegende Quelle noch funktioniert, und werden dann nachbearbeitet, um ihre statistischen Eigenschaften zu verbessern. Ein Beispiel wäre der TRNG9803 Hardware-Zufallszahlengenerator, der eine Entropiemessung als Hardware-Test verwendet und die Zufallsfolge dann mit einem Schieberegister-Stream-Zipher nachbearbeitet. Es ist im Allgemeinen schwierig, statistische Tests zu verwenden, um die erzeugten Zufallszahlen zu validieren. Wang und Nicol schlugen eine auf Entfernungen basierende statistische Testtechnik vor, die verwendet wird, um die Schwächen mehrerer Zufallsgeneratoren zu identifizieren. Li und Wang schlugen eine Methode zur Prüfung von Zufallszahlen basierend auf laserchaotischen Entropiequellen unter Verwendung von Eigenschaften der Brown’schen Bewegung vor.
Statistische Tests werden auch verwendet, um Vertrauen zu schaffen, dass die nachbearbeitete endgültige Ausgabe eines Zufallszahlengenerators wirklich unvoreingenommen ist, wobei zahlreiche Testpakete für Zufälligkeit entwickelt wurden.
Weitere Überlegungen
Verteilung anpassen
Gleichverteilungen
Die meisten Zufallszahlengeneratoren arbeiten nativ mit ganzen Zahlen oder einzelnen Bits, daher ist ein zusätzlicher Schritt erforderlich, um die „kanonische“ Gleichverteilung zwischen 0 und 1 zu erreichen. Die Implementierung ist nicht so trivial wie die Division der Ganzzahl durch ihren maximalen möglichen Wert. Konkret:
- Die Ganzzahl, die in die Transformation eingeht, muss genug Bits für die beabsichtigte Präzision bereitstellen.
- Die Natur der Gleitkomma-Arithmetik selbst bedeutet, dass es mehr Präzision gibt, je näher die Zahl bei Null liegt. Diese zusätzliche Präzision wird aufgrund der schieren Anzahl der erforderlichen Bits normalerweise nicht verwendet.
- Rundungsfehler bei der Division können das Ergebnis verzerren. Im schlimmsten Fall kann ein angeblich ausgeschlossener Bereich entgegen den Erwartungen der Mathematik mit reellen Zahlen gezogen werden.
Der Mainstream-Algorithmus, der von OpenJDK, Rust und NumPy verwendet wird, wird in einem Vorschlag für die STL von C++ beschrieben. Er nutzt nicht die zusätzliche Präzision und leidet nur im letzten Bit an Verzerrungen aufgrund des Rundens auf die nächste gerade Zahl. Andere numerische Bedenken sind berechtigt, wenn diese „kanonische“ Gleichverteilung auf einen anderen Bereich verschoben wird. Eine vorgeschlagene Methode für die Swift-Programmiersprache behauptet, überall die volle Präzision zu nutzen.
Gleichmäßig verteilte ganze Zahlen werden häufig in Algorithmen wie dem Fisher-Yates-Shuffle verwendet. Auch hier kann eine naive Implementierung eine Modulo-Verzerrung in das Ergebnis einführen, daher müssen aufwendigere Algorithmen verwendet werden. Eine Methode, die fast nie eine Division durchführt, wurde 2018 von Daniel Lemire beschrieben, wobei der aktuelle Stand der Technik der arithmetischen Kodierungs-inspirierte „optimale Algorithmus“ von Stephen Canon von Apple Inc. im Jahr 2021 ist.
Die meisten 0- bis 1-RNGs schließen 0 ein, aber 1 aus, während andere beide einschließen oder ausschließen.
Andere Verteilungen
Wenn eine Quelle von gleichmäßig verteilten Zufallszahlen vorliegt, gibt es einige Methoden, um eine neue Zufallsquelle zu erstellen, die einer Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion entspricht. Eine Methode namens Inversionsmethode beinhaltet das Integrieren bis zu einem Bereich, der größer oder gleich der Zufallszahl ist (die für ordnungsgemäße Verteilungen zwischen 0 und 1 erzeugt werden sollte). Eine zweite Methode namens Akzeptanz-Ablehnungs-Methode beinhaltet die Wahl eines x- und y-Werts und das Testen, ob die Funktion von x größer ist als der y-Wert. Wenn dies der Fall ist, wird der x-Wert akzeptiert. Andernfalls wird der x-W
